請問巫師 #117
您對玩石頭/剪刀/布有什麼建議？
本站最好的建議可能是：第一輪，總是選布。這是因為業餘玩家往往第一次就選石頭。只要每次伸出手，一次一個，你就會發現石頭是最舒服、最自然的選擇。如果你重複玩幾輪，你應該選擇任何能在最後一輪擊敗對手的機率小於三分之一的牌。這是因為我相信業餘玩家重複玩的次數不到三分之一。如果你與一個你擔心會闖入你腦海的職業選手比賽，那麼通過查看手錶的秒針隨機化，將秒數除以三取餘數，然後將餘數映射如下：0=石頭，1=剪刀，2=布（或任何其他提前確定的映射）。所以下次你去荷蘭式餐廳時，我建議你先玩一輪結帳，然後再選布。你以後會感謝我的。
在拉斯維加斯，我玩過的大多數賭場都要求每天在二十一點遊戲中下注100美元，持續4小時，才能獲得免費房間。我算了一下，如果我玩S17、RSA、DOA和LSR，假設每小時100手，如果我使用基本策略，每天要花費120美元。還有其他遊戲比我玩的輸少嗎？我主要關心的是牌九，如果我從不押注，每天玩4小時，每手100美元，那會花多少錢。不過，我想你可能知道另一種對我來說更便宜的遊戲。
關於贈券，經驗法則是賭場會回饋一定比例，通常是三分之一。所以，如果你的目標是以盡可能低的預期損失贏得房間，那麼你應該玩賭場優勢最低的遊戲。玩牌九或牌九撲克可能會更快贏得房間，而且資金波動性更小。然而，賭場優勢更高，所以你的預期損失會比玩二十一點更大。在我看來，你應該玩那些沒有贈券時你會玩的遊戲。然後把贈券當作錦上添花。
賭場業擁有數百萬顧客，他們賭博輸掉的金額高達數十億美元，其中一部分人甚至感到不滿，聲稱自己被虛假廣告欺騙了。在對石棉、菸草等產業造成巨大影響後，你認為這些出庭律師還會對這個產業構成威脅嗎？
我希望不會。如果有人提起這樣的訴訟，我希望賭場贏。只要賭場誠實公平地運作——我相信它們總體上是這樣的——那麼如果玩家輸得超過他所能承受的程度，那就是他自己的錯。我不是律師，但在拉斯維加斯，似乎沒人擔心這個問題。
幾年前，我在裡諾遇到一個似乎沒人聽說過的情況。在一張坐滿人的牌九撲克牌桌上，荷官發牌，我記得兩張牌的牌是J/10，五張牌的牌是同花。荷官沒有註意到牌局裡有順子，而且兩張牌的牌更大，但她還是發牌了，然後換了四個玩家。這時，賭場經理過來對她說：“你們發錯了”，然後重新發牌。然後他們就去棄牌區重新發牌。結果兩名玩家從平手變成了輸球。賭場經理查看了錄影帶確認了下注金額後，真的去玩家的籌碼堆裡拿走了他們的錢。我們都被告知要留在牌桌旁，直到問題解決。但問題解決後，儘管彼此並不認識，我們不僅離開了牌桌，還徹底離開了賭場。我突然意識到，一旦發牌，第一手牌也算了，就再也無法更改了。另外，出於公關考慮，那個賭場老闆因為一場混亂而永遠失去了我的生意，這場混亂只為賭場帶來了20美元的收益。你覺得怎麼樣？
賭場有權這麼做。但在我看來，這是一個糟糕的商業決策。賭場不僅浪費時間解決這個爛攤子，而且正如你所指出的，這導致所有玩家都感到不滿。這正好顯示了嚴格遵守規則是多麼愚蠢。我個人認為，規則應該與常識相權衡。
我是業餘基礎策略二十一點玩家，想學習能帶來正值甚至預期值的算牌技巧。我想知道是否有一種不需要追蹤所有牌的算牌技巧。我想，我可以隨機抽出所有出過的牌（例如我的手牌），然後只算出我手中的牌。希望我的牌能代表所有出過的牌，這樣我的手牌點數就能足夠接近真實的流水點數，這樣我就可以相應地調整投注。您覺得這種方法是否有效，尤其是在對抗6-8副牌的牌盒時？還是我只是個懶人，只想找個捷徑？
最簡單的算牌方法就是我所謂的「目測法」。如果你看到很多小牌出現，就加大賭注，反之亦然。不過，這種方法比較適合一副或兩副牌的遊戲。六副或八副牌的遊戲，我推薦A/5算牌法。這種方法只需要算A和5。根據肯烏斯頓在《百萬美元二十一點》中的說法，這種方法可以讓玩家在1到3個單位的下注範圍內額外獲得0.5%的贏利。這足以在大多數遊戲中克服賭場優勢。
我最近參加了一個醫院慶祝活動。獎品是，如果一次擲出7個骰子，出現7個六，就能贏得一輛新車。每次1英鎊。這機率一定很高，但究竟有多高呢？
用七顆骰子擲出七個六的機率是 (1/6) 7 = 279,936 分之一。所以，這輛車的價值必須達到 279,936 英鎊或更高，這才是一個很好的賭注。即使是普通的勞斯萊斯也不值這麼多錢，所以我認為這是一場糟糕的賭注。
[Bluejay 補充說：呃，是的，但我覺得重點是這是為了慈善事業。哪個更有趣：捐 1 英鎊給慈善機構，除了幫忙的快感什麼也得不到，還是捐 1 英鎊，除了快感之外，還有贏得一輛車的幾率？ ]
親愛的巫師，我從您的網站和其他管道中了解到，投注系統並不能讓你比賭場更有優勢。我的問題是，它們會降低賭場優勢嗎？過去八年，我一直在玩唐納德·達爾在《漸進式二十一點》中概述的投注系統，它讓我能夠投注比平時更高的金額，從而獲得刺激。我通常玩10美元的賭桌，常常可以下注30美元。上次去拉斯維加斯，我在山姆小鎮賭場玩到了100美元，這真的讓我心跳加速，更不用說離開賭桌時還贏了600美元。謝謝你的幫忙。
不！投注系統不僅無法克服賭場優勢，甚至連一點削減都做不到。它們也無法提高賭場優勢。它們所能做的只是影響波動性。既然聽起來你喜歡波動性強、刺激的遊戲，那麼你的系統就達到了它的目的。只是別指望贏錢。
在100萬手牌中，出現20萬手大同花順荒的機率是多少？我對答案本身更感興趣。
我很少這麼說，但我試了幾個小時，但這個問題的數學計算實在太難了。所以我向我的朋友、數學教授加博爾·梅傑西（Gabor Megyesi）求助。這是他解決任何「乾旱」問題的公式。
- 設 p 為贏得任何一手牌的機率。
- 設 d 為乾旱持續時間。
- 設 n 為玩過的牌數。
- 設 k=dp 和 x=np。
- 若 k=1，則令 a=-1，否則求 a 使得 k=-ln(-a)/(1+a)。 （a 為負數，如果 k>1，則 -1 < a < 0，如果 k < 1，則 a < -1，且 a 需要高精度計算。）[嚮導註：此類解法可在 Excel 中使用工具選單下的「目標求解」功能輕鬆找到。 ]
- 若 k=1 則令 A=2，否則令 A=(1+a)/(1+ak)。
- n 年間不發生長度為 d 的乾旱的機率約為 Ae a x 。
在這個特定問題中，p=1/40391，d=200000，n=1000000，k=4.9516，x=24.758，a=-0.0073337，A=1.03007。因此，不發生乾旱的機率為 1.03007*e -0.0073337*24.758 = 0.859042。因此，至少發生一次乾旱的機率為 1-0.859042 = 0.140958。
這是 Gabor Megyesi 的完整5 頁解決方案（PDF）。感謝 Gábor 的幫助。
我隨機模擬了32095組一百萬手牌，其中至少出現一次乾旱的號碼是4558，機率為14.20%。
我偶爾會和一群熱愛撲克但偶爾想玩玩BJ來豐富晚上的活動的玩家一起玩。他們中的大多數人在策略和機率意識方面都是新手。您推薦什麼樣的公平規則，才能讓BJ對雙方玩家以及贏得莊家來說都成為一場公平的遊戲（或盡可能接近公平）？
這取決於玩家的特定技能因素。雖然我不清楚具體情況，但假設玩家的技能水平相同，我會讓銀行選項在玩家之間輪換。
為什麼賭場拿到軟17點的機率更高？看起來他們更有可能爆牌，因此機率更低。
誠然，如果莊家拿到軟17，賭場爆牌的機率會更高。然而，莊家拿到的17點也更少，這可不是好牌。莊家拿到軟17點對玩家有利，原因與玩家拿到軟17點時應該加註或加倍相同。 17點是一手爛牌，無論是玩家或莊家拿到軟17點，都提供了兩次改進的機會。
擲五顆骰子，得到 5 條、4 條、3 條、葫蘆、2 對、一對、順子和零的機率是多少？
- 五張同點牌：6/6 5 = 0.08%（顯而易見）
- 四張同點牌：5*6*5 = 1.93%（單張的 5 種可能位置 * 四張同點牌的 6 種等級 * 單張的 5 種等級）。
- 葫蘆：combin(5,3)*6*5/6 5 = 3.86%（combin(5,3) 三條的位置 * 三條的 6 個等級 * 對子的 2 個等級）。
- 三張同點牌：COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 5 = 15.43%。 (combin(5,3) 三張同點牌的位置 * combin(2,1) 較大單張牌的位置 * 三張同點牌的 6 個等級 * combin(5,2) 兩張單張牌的等級。）
- 兩對：COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 5 = 23.15%（較高對的組合(5,2) 位置 * 較低對的組合(3,2) 位置 * 兩對的組合(6,4) 位置 * 較低對的組合(3,2) 位置 * 兩對的組合(6,4) 排名 * 排名單對的 4 排名）。
- 配對：COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 5 = 46.30%（配對的 combin(5,2) 位置 * 三個單例的 fact(3) 位置 * 配對的 6 個等級 * 單一的 combin(5,3) 等級）。
- 直線：2*fact(5) / 6 5 = 3.09%（直線的2個跨距{1-5或2-6} * fact(5) 方式排列順序）。
- 無：((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 5 = 6.17%（combin(6,5) 種方法從六個等級中選擇五個等級，減去 2 個直線等級，* fact(5) 種方法來排列順序。
巫師先生，很棒的網站。裡面有很多實用又有趣的資訊。我希望能了解更多關於遊戲背後的數學原理以及模擬的可能來源（原始碼、書籍等等）。您建議有興趣編寫類似「二十一點莊家優勢計算器」的人去哪裡獲取更多資訊？謝謝您的回覆。
謝謝你的讚美。恐怕我不知道有哪個資料來源，包括我自己，能提供遊戲分析的程式碼。我花了好幾年才讓我的二十一點引擎完美運作（當莊家有10或A時分牌非常棘手）。要獲得二十一點莊家優勢的一個更簡單的方法是寫一個隨機模擬程式。我想有一天寫一本關於我如何分析遊戲的書，但恐怕只有你會買。