球員道具的變異數和資金管理

了解道具投注的差異

即使預期值為正，短期結果也會因波動而改變。 60% 的勝率（在體育博彩中非常出色）仍然意味著你每投注 10 次就會輸掉 4 次。從數學角度理解波動有助於設定合理的期望。

二元結果的標準差

玩家道具投注的結果通常是二元的：贏或輸。獲勝機率為 p 的單次投注，結果的標準差為：

這衡量的是單次投注結果的不確定性。例如，對於機率為 60% 的投注：

標準差為 0.49，相對於期望值 0.20 而言，實際上相當高（假設以 +100 的賠率投注，勝率為 60%）。

多次投注的標準差

如果你進行 n 次具有相同特徵的獨立投注，則總結果的標準差為：

關鍵洞察：標準差與投注次數的平方根成正比。如果你投注 100 次而不是 1 次，你的標準差會增加 √100 = 10 倍，但你的期望值會增加 100 倍。這就是為什麼優勢賭徒會盡可能地進行正期望值投注——期望值的成長速度遠超不確定性的成長速度。

變異係數

變異係數（CV）是一個有用的指標，它衡量的是相對不確定性：

其中 μ 為期望值。對於 n 投注：

CV 隨著 √n 的增加而減少，這意味著隨著投注次數的增加，相對不確定性會減少。這就是大數定律的數學基礎：經過足夠的重複，實際結果會收斂於期望值。

凱利準則：最優投注額

凱利準則由約翰凱利於 1956 年提出，它提供了一個數學公式，用於確定最佳投注規模，以最大限度地提高長期資金增長，同時控制破產風險。

公式

勝率為 p、賠率為 b（每投註一美元若贏則獲利）的投注，最佳投注資金比例為：

在哪裡：

• f* = 投注資金的最佳比例
• b = 小數賠率 - 1（贏了每美元的利潤）
• p = 獲勝的真實機率
• q = 1 - p（失敗的機率）

推導（簡化版）

凱利透過最大化財富的期望對數推導出了這個結論。如果你投注資金 B 的 f 倍：

• 如果你贏了（機率 p）：新的資金 = B(1 + fb)
• 如果輸了（機率 q）：新的資金 = B(1 - f)

預期對數財富：

為了最大化，對 f 求導並令其等於零：

解得 f：

此公式可最大限度地提高您的資金隨時間的幾何增長率。

分數凱利法：保守方法

全凱利投注法能最大程度地提高長期收益，但可能導致資金波動較大。大多數認真的投注者會使用部分凱利投注法來降低波動性，但代價是成長速度會較慢。

常用分數

• 凱利全倍數（1.0倍）：最大成長，高波動性
• 半凱利法（0.5倍）：解釋75%的成長率，解釋50%的方差
• 四分之一凱利法（0.25倍）： 50%的成長率，25%的方差

分數凱利公式：

為什麼要使用分數凱利法？

1. 估計誤差：如果你的機率估計有誤，完全凱利估計可能過於激進。部分凱利估計則提供了安全裕度。
2. 降低波動性：半凱利策略大幅降低了資金波動，同時保留了大部分成長。
3. 心理安慰：在連敗期間，較小的投注額更容易堅持下去。
4. 同時進行多項投注：如果您同時投注多個特殊項目，分數凱利模型可以考慮投資組合風險。

例如：半凱利與全凱利

以我們先前的例子為例，賠率為-110，勝率為55%：

資金1000美元：

• 全凱利投注：每註 55 美元
• 半凱利：每註 27.50 美元
• 四分之一凱利：每註 13.75 美元

大多數職業博彩玩家正是出於這些原因而使用四分之一凱利賠率和半凱利賠率。

破產風險：了解資金生存之道

破產風險是指你的資金在恢復之前跌至零（或某個最低閾值）的機率。即使預期收益為正，如果你下注過於激進，也始終存在破產的風險。

簡化公式

對於期望值為正的重複投注，破產風險的近似值為：

在哪裡：

• EV = 每次投注的預期價值（以美元計）
• N = 資金規模（美元）
• σ² = 每次投注的方差

賭徒破產公式（離散型）

為了更精確計算固定投注金額，假設初始資金為 B，投注額為 b：

這是正期望值（p > q）下賭徒破產的標準近似值。它估計的是優勢顯現之前輸光所有資金的機率。

範例

認為：

• 資金：1000 美元
• 投注額：50 美元（資金的 5%）
• 獲勝機率：55%
• 賠率：-110（贏 45.45 美元，輸 50 美元）

輸光所有賭注所需的次數：1000 美元 / 50 美元 = 20 次

即使下注 5% 的凱利值，並且期望值為正，在你的優勢顯現之前，也有大約 2% 的機率破產。

凱利如何將破產風險降至最低

凱利投注法的妙處在於它能根據資金自動調整投注金額。資金越多，投注額越大；資金越少，投注額越小。這種動態調整意味著你永遠不會讓自己陷入困境。

採用真正的凱利投注法（持續調整投注額），隨著時間的推移，破產風險會趨近於零（儘管在有限時間內永遠不會完全為零）。這就是為什麼凱利投注法在數學上是最優的：它既能最大化收益，又能基本消除長期投注者的破產風險。

投資組合效應：投注多種道具

實際上，你不會一次只投註一個項目。你會同時進行多個投注。這會產生投資組合效應，進而影響最佳投注金額。

來自不同遊戲的獨立道具

如果你對不同比賽（不同球隊、不同運動項目）的特殊投注投注，這些投注近似獨立。投資組合理論告訴我們，投資組合的變異數為：

對於 n 個相同的賭注：

這意味著，如果你同時對四個獨立的投注項目進行凱利投注，你的資金波動幅度將是單次投注的兩倍。為了保持相同的風險水平，你應該將每次投注的凱利投注額減半。

獨立投注的一般規則

如果您打算平均同時進行 n 個獨立的投注：

例如：

• 一次下注 1 次 → 1.0 倍凱利賠率
• 一次下注 4 次 → 0.5 倍凱利（半凱利）
• 一次下注 9 次 → 0.33 倍凱利賠率（三分之一凱利賠率）
• 一次下注 16 次 → 0.25 倍凱利（四分之一凱利）

來自同一款遊戲的相關道具

正如我們在第四篇文章中討論的那樣，同一場比賽中的各種投注項目是相關的。如果你對同一場比賽的多個投注項目進行投注，你將承擔額外的風險，因為它們的輸贏很可能同時發生。

對於關聯投注，應進一步減少投注額。大致原則如下：

• 低相關性（ρ < 0.2）：視為獨立事件
• 中等相關性（ρ = 0.2-0.5）：減少投注額25-50%
• 高相關性（ρ > 0.5）：減少投注額 50% 以上，或避免在同一局遊戲中進行多次投注

相關凱利投注的精確數學原理很複雜，超出了本文的範圍，但其原理很明確：相關性會增加風險，因此需要較小的投注金額。

常見的資金管理錯誤

1. 贏錢後過度下注

“我剛剛連續贏了三場，讓我增加賭注！”

問題：這違反了凱利原則。你應該只在資金成長時才增加投注額，而不是因為連勝就增加。三連勝可能是運氣使然，而非技術證明。

2. 輸錢後下注太少

“我連輸五場了，應該小注慢慢來，等緩過來再說。”

問題：如果你確實擁有優勢，那麼在連敗期間，你更應該堅持使用凱利投注法。因為連敗而將投注金額降低到凱利投注法以下，會損失你預期的收益成長。 （但是，為了心理安慰而將投注額降低到部分凱利投注法是可以接受的。）

3. 利用恐慌性貨幣

“我每項投注下注10美元，因為我擔心我的資金。”

問題：如果你不敢下注合適的金額，表示你的資金太少，或者你實際上並沒有優勢。要嘛增加資金，要嘛就別下注。

4. 忽略投資組合效應

“我願意同時押注凱利5%的勝率，投注10個不同的道具。”

問題：你實際承擔的風險是你預想的√10 ≈ 3.16倍。你的總部位相當於在一註賭注中投入了15.8%的凱利值——過於激進。

5. 永不重新計算

“我一開始投入了1000美元，每次投注都下注50美元。”

問題：如果你的資金降至 500 美元，下注 50 美元（目前資金的 10%）過於魯莽。如果資金增加至 2000 美元，下注 50 美元（2.5%）又過於保守。應根據資金變化調整下注金額。

6. 高估邊緣

“我有六成把握贏下這場賭局，所以我會下重註。”

問題：如文章 2 所述，機率估計存在不確定性。如果實際機率只有 53%，卻「確信」自己有 60% 的把握，就會導致過度下注。因此，應使用保守估計和分數凱利機率。