同場串關：相關性的數學原理

傳統帕雷數學（獨立事件）

對於包含獨立事件的傳統串關投注，其數學原理很簡單。如果您有n 個投注，每個投注的機率分別為p₁ , p₂ , ..., pₙ ，那麼所有投注都贏的機率就是各個投注機率的乘積：

此公式依賴獨立事件機率的基本規則。如果知道事件 A 發生並不能提供任何關於事件 B 是否發生的信息，則稱事件 A 和 B 是獨立的（形式上：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)）。

例：傳統三串一

假設你對三個來自不同遊戲的賭注進行串關投注（確保彼此獨立）：

• A隊讓分-110（隱含機率≈52.4%）
• B隊讓分-110（隱含機率≈52.4%）
• C隊讓分-110（隱含機率≈52.4%）

關於隱含機率的說明：我們使用文章 1中的公式將美式賠率轉換為機率。例如，對於 -110 的賠率：

合併機率（假設相互獨立）：

公平賠率計算：如果真實機率為 14.4%，則公平賠率計算如下：

實際賠付：大多數體育博彩公司對標準賠率為 -110 的 3 串 1 投注賠付約為 6 比 1 (+600)。

博彩公司的優勢在於支付的賠率略低於公平賠率。在這種情況下：

這種適中的莊家優勢在傳統串關投注中屬於正常水準。然而，這種計算的關鍵在於假設每場比賽的結果都是獨立的——也就是每場比賽的結果互不影響。對於同一場比賽的串關投注，這個假設完全不成立。

同場串關投注中的相關性問題

當所有投注都來自同一遊戲時，獨立性就被破壞了。考慮以下常見的SGP構造：

• A隊獲勝（-140，隱含機率≈58.3%）
• A隊四分衛傳球超過275.5碼（-110，隱含機率≈52.4%）
• 比賽總得分超過 48.5 分（-110，隱含機率 ≈ 52.4%）

這些結果呈現正相關：

• 如果A隊獲勝，他們的四分衛很可能表現出色 → 第一局和第二局之間存在正相關性
• 如果四分衛傳球超過 275 碼，比賽得分可能會更高 → 第二回合和第三回合之間存在正相關關係
• 如果A隊獲勝，尤其是以較大優勢獲勝，總分更有可能超出預期 → 第1輪和第3輪之間存在正相關性

使用獨立性公式會大大低估這三個物體同時擊中目標的真實機率。

數學框架

設 X₁、X₂、X₃ 為二元隨機變數（1 = 贏，0 = 輸），分別代表三個串關投注的結果。我們需要計算：

獨立後：

具有相關性：

真實機率取決於 (X₁, X₂, X₃) 的聯合機率分佈，該分佈反映了結果之間的協同變化。我們不能簡單地將邊緣機率相乘；我們必須考慮這種依賴結構。

為了合理定價此串關投注，博彩公司必須直接估算 P(X₁=1, X₂=1, X₃=1)，並考慮相關性。本文餘下部分將探討他們所使用的方法。

相關矩陣：衡量依賴性

體育博彩公司利用歷史資料來估算相關性。對於每一對投注類型（例如球隊勝負與球隊總得分、四分衛碼數與比賽總得分等），他們都會根據過去數千場比賽的數據計算經驗相關係數。

皮爾遜相關係數

對於兩個二元結果 X 和 Y（分別編碼為 1 表示勝利，0 表示失敗），皮爾遜相關係數為：

分子衡量聯合機率與獨立性預測值之間的差異程度。分母將這種差異歸一化，使其值介於 -1 和 +1 之間。

解釋：

• ρ = +1：完全正相關（兩者總是同時發生）
• ρ = 0：無相關性（獨立事件）
• ρ = -1：完全負相關（當一個事件發生時，另一個事件永遠不會發生）
• 典型的運動博彩範圍： ρ介於-0.4和+0.6之間

相關矩陣範例

以下是根據 NFL 比賽歷史數據推導出的假設性相關矩陣。這些數值僅為範例，但具有代表性，能夠反映體育博彩公司可能觀察到的相關性：

此矩陣顯示了中等程度的正相關性。相關性最強（0.42）的是四分衛傳球超過275碼與比賽總得分超過預設值之間的相關性——這符合直覺，因為高傳球碼數通常預示著高得分比賽。

球隊獲勝與四分衛的表現（0.35）以及比賽總分超過預設值（0.28）均呈正相關，儘管這些相關性較弱。這種結構很典型：相關性存在，但很少達到極高的程度。

重要提示：相關矩陣會因比賽狀況（熱門球隊與冷門球隊、主場與客場、總分高低比賽等）而顯著變化。成熟的體育博彩公司會針對不同的比賽情況維護不同的矩陣。

高斯Copula法在SGP定價的應用

體育博彩公司使用的一種複雜方法是高斯 copula ，它能模擬聯合機率，同時保留每筆單獨投注的邊緣機率。這種方法將邊緣行為（每筆投注單獨獲勝的頻率）與依賴結構（投注如何共同變化）區分開來。

方法論

1. 轉換為常態變數：使用逆常態累積分佈函數（CDF）將每個二元結果轉換為潛在的連續常態變數：
   Z₁ = Φ⁻¹(p₁), Z₂ = Φ⁻¹(p₂), Z₃ = Φ⁻¹(p₃)

   其中 Φ⁻¹ 是逆標準常態分佈累積分佈函數，p₁、p₂、p₃ 是邊緣機率。

2. 應用相關結構：將 (Z₁, Z₂, Z₃) 模型化為具有相關矩陣R 的多元常態分佈：
   (Z₁, Z2, Z₃) ~ MVN(0, R)

   其中 R 包含相關矩陣中的配對相關係數。

3. 計算聯合機率：三個賭注全部獲勝的機率為：
   P(全部獲勝) = P(Z₁ > c₁, Z₂ > c₂, Z₃ > c₃)

   其中 c₁、c₂、c₃ 是對應於每個賭注未獲勝的臨界值（即 cᵢ = Φ⁻¹(1 - pᵢ)）。

對多元常態分佈的這種積分通常使用蒙特卡羅模擬或數值積分方法計算。

範例

使用之前提到的三串一投注策略，並結合上面所示的相關矩陣：

• A隊獲勝的機率 = 0.583
• P(四分衛傳球超過275碼) = 0.524
• 總分超過 48.5 的機率 = 0.524

獨立後：

利用相關性（使用上述矩陣的高斯 copula）：

與獨立性假設相比，相關性使聯合機率提高了約 33%。這是關鍵所在：正相關性使得串關投注的命中率高於獨立性假設所預期的水平，這意味著博彩公司必須提供比傳統串聯投注更低的賠率（更低的派彩）。

如果博彩公司按照傳統的三串一賠率（約 +600）支付賠率，而實際機率為 21.2%，那麼他們將提供：

這對博彩公司來說將是災難性的。 （關於預期值計算的概述，請參見文章 2。 ）相反，他們可能會提供 +350 的賠率，這意味著：

現在，投注者面臨 4.6% 的莊家優勢，與單註類似。

經驗頻率法

更簡單、更直接的方法是統計特定投注組合在歷史資料中出現的頻率。這種方法不需要對相關性的形式做任何假設（與高斯 copula 不同），只需使用觀察到的頻率即可。

流程

1. 找出可比較的歷史比賽：找到所有與當前情況相符的過去比賽（相似的讓分、相似的總分、相似的球隊實力）
2. 記錄結果：對於每場歷史比賽，記錄每註賭注是否獲勝。
3. 計算關節頻率：統計所有腿部同時擊打的次數。
4. 調整樣本量：應用統計調整（例如信賴區間）來彌補資料量不足的問題。
5. 加上莊家優勢：將頻率轉換為賠率，並考慮所需的利潤率。

計算範例

在NFL史上500場球隊被看好贏3-7分，且總得分在45-51分之間的比賽：

與獨立性的比較：

這種經驗方法證實了高斯 copula 函數的預測：相關性會顯著提高聯合機率。博彩公司使用 20.4% 這個數值（可能根據當前比賽的具體情況進行調整）來設定賠率。

經驗方法的優點：

• 無需任何分佈假設
• 準確地捕捉現實世界中發生的相關性
• 只要有足夠的歷史數據，就很容易實施。

缺點：

• 每種特定組合都需要大型資料集
• 對新型組合的推廣效果不佳
• 對於罕見的投注類型或不尋常的遊戲情況，可能會出現噪音。

大多數複雜的運動博彩公司採用混合方法：在數據豐富的地方使用經驗頻率，在數據不足的地方使用高斯 copula 或其他模型來填補空白和平滑估計。

體育博彩公司如何計算SGP賠率：完整流程

以下是體育博彩公司為同一場比賽的串關投注定價所使用的完整工作流程：

步驟 1：估計邊際機率

對於每一場比賽，確定其真實機率（不包含佣金）。博彩公司透過其預測模型和做市演算法得出這些機率：

• A隊獲勝：真實機率56% → 賠率-130（含佣金後隱含機率為56.5%）
• 四分衛傳球超過 275 碼：真實機率 48% → 賠率為 -110（含佣金後隱含機率為 52.4%）
• 總分超過 48.5 分：真實機率為 52% → 報價為 -110（含佣金隱含機率為 52.4%）

步驟二：應用相關性調整

使用 copula 方法或經驗頻率（或兩者結合），計算真實的聯合機率。在本例中，假設他們的分析結果如下：

與獨立性假設進行比較：

在這種情況下，相關性使聯合機率增加了 35%。

步驟 3：增加活力

將真實機率轉換為包含所需莊家優勢的賠率：

14.9%的莊家優勢遠高於單注通常4-5%的優勢。這也是運動博彩公司熱衷於推廣SGP（單注獎金）的原因之一。

步驟 4：四捨五入至標準串列賠率

為了簡化操作並提升使用者體驗，許多運動博彩網站會將賠率四捨五入到標準的串關投注增量（+300、+350、+400、+450、+500 等）。這種四捨五入方式可能會略微增加或減少實際的莊家優勢，這取決於四捨五入的方向。

在這種情況下，+350 已經是一個標準增量，因此不需要額外的捨入。

第五步：動態調整

高級書籍也會根據以下因素進行即時調整：

• 投注失衡：如果太多投注者選擇某種特定組合，賠率可能會進一步降低。
• 精明玩家的資金流向指標：如果已知的精明玩家都在避開某些單場錦標賽（SGP），博弈公司可能會提供略微更高的賠率來吸引更多玩家參與。
• 相關性不確定性：對於相關性難以估計的特殊組合，圖書通常會增加額外的安全邊際。

對投注者的實際影響

理解SGP的數學原理可以得到以下幾個實際結論：

1. SGP通常價值不高

串通投注的莊家優勢通常是單注的3-5倍。除非你有充分的理由相信某個串關投注的定價有誤，否則最好還是進行單註投注，或者乾脆避免串關投注。

2. 避免高度相關的組合

那些「感覺」最划算的組合（球隊獲勝 + 四分衛得分超過預設值 + 比賽結束）恰恰是博彩公司數據最豐富、定價模式最合理的組合。你不太可能在這裡找到價值。

3. 考慮負相關性

如果你一定要投注SGP，那就尋找負相關的組合，因為博彩公司可能會提供不成比例的高賠率。這看似違反直覺，但可能有更高的數學價值。

4. 樣本量需求

要建立自己的相關性估算模型，你需要數百場相關的歷史比賽資料。對大多數投注者來說，這不切實際。要知道，博彩公司擁有遠勝於你的數據和建模能力。

5. 替代策略：單註

如果你認為A隊會贏，而且他們的四分衛會衝球超過指定碼數，並且比賽總分會超過指定分數，那麼你就有了三個正期望值的投注選項（在你看來）。為什麼要把它們合併成一個莊家優勢高達15-25%的單註投注（SGP）呢？你完全可以分別進行三個莊家優勢只有4-5%的投注。 （我們將在第三篇文章中討論多注投注的最佳投注額。）

即使SGP和單獨投注策略每次組合都承擔10美元的風險，但SGP的預期收益大約是單獨投注的7倍。這假設你的機率估計是正確的，這就引出了我們關於預期收益計算的第二篇文章。