球員道具投注的預期價值

期望值：數學定義

期望值是所有可能結果的加權平均值，其中每個結果的權重為其發生的機率。

通用公式

對於任何有多種可能結果的賭注：

其中求和是對所有可能的結果 i 進行的。

二元投注公式（贏或輸）

大多數玩家道具投注都是二元的：要嘛贏，要嘛輸。對於這類投注，公式可以簡化為：

由於我們通常下注 1 美元（或者說，所有賭注都以每美元計算），而且如果我們輸了，就會輸掉全部賭注，所以就變成了：

由於 P_lose = 1 - P_win，我們可以寫成：

了解組成部分

• P_win：贏得賭注的真實機率（您的估計值，而非市場估計值）
• 利潤：如果您贏了，每投註一美元您能賺多少錢（以十進制賠率表示：十進制賠率 - 1）
• EV > 0：預期值為正－預期在多次重複操作後能夠獲利
• 期望值 = 0：損益平衡投注－無論哪一方都沒有優勢
• EV < 0：負期望值－預期在多次重複中會虧損

您的估價與市場行情對比

要使投注具有正的預期價值，你的機率估計必須與市場機率在正確的方向上有所不同（並且比市場機率更準確）。

關係

從第一篇文章中我們了解到，-110 的賠率意味著 52.4% 的機率（包含佣金）。在平衡的雙向市場中，公平機率（去除佣金）約為 50%。

例如：

• 市場隱含機率（含佣金）： 52.4%
• 市場公平機率（估計）：約50%
• 您的估算： 55%

你認為真實機率是 55%，而市場（扣除佣金後）認為更接近 50%。這 5 個百分點的優勢造就了正的預期價值。

損益平衡機率

賠率為 -110 的賭注以多大的真實機率會達到損益兩平（EV = 0）？

在-110的賠率下，你需要52.4%的真實勝率才能達到損益兩平。這與我們在第一篇文章中計算出的隱含機率完全一致。要獲得正期望值，你估計的真實勝率必須超過52.4%。

一般損益平衡公式

對於任何賠率，盈虧平衡機率為：

這在數學上等價於第 1 條隱含的機率。

利用歷史數據估算真實機率

EV 分析中最根本的挑戰：如何估計真實機率？

最常見的方法是使用球員過去表現的歷史數據。

樸素方法

假設球員 A 本賽季打了 50 場比賽，其中 28 場比賽得分超過 25.5 分。

56% 是我們的機率估計值嗎？別急。這個樣本比例只是我們的起點，我們還需要考慮以下因素：

1. 樣本量不確定性
2. 環境差異（對手實力、主客場、休息日等）
3. 近期趨勢與賽季平均對比
4. 均值回歸

樣本量和標準誤差

由於只有 50 場比賽，56% 的估計值存在相當大的不確定性。我們使用比例的標準誤差來量化這種不確定性：

其中 p 為樣本比例，n 為樣本容量。

例如：

標準誤差為7個百分點。這屬於相當大的不確定性！

信賴區間

95% 信賴區間約為：

解讀：在 95% 的置信度下，真實機率介於 42.3% 和 69.7% 之間。這是一個非常大的範圍！在低端 (42.3%)，該投注的期望值 (EV) 非常低。在高階 (69.7%)，該投注的期望值 (+EV) 非常高。

正是由於這種不確定性，樣本量在機率估計中才顯得如此重要。

你需要多少數據？

下表顯示了不同樣本量的標準誤差和 95% 信賴區間寬度，假設 p = 0.50（最大不確定性出現在 p = 0.50 處）。

關鍵觀察結果

• 10場比賽的數據： 95%信賴區間為±31%，使得機率估計幾乎毫無用處。
• 基於 50 場比賽的數據： 95% 信賴區間為 ±14%，仍有相當大的不確定性。
• 基於 200 場比賽的數據： 95% 置信區間為 ±7%，對於估計而言是合理的。
• 基於1000場遊戲： 95%信賴區間為±3%，精準度良好

問題在於：大多數球員在單一環境下並沒有超過200場比賽的樣本。 NBA賽季只有82場比賽，NFL賽季只有17場比賽。這種有限的數據量為機率估計帶來了根本性的不確定性。

完整的道具評估框架

綜上所述，以下是評估任何球員屬性的分步框架：

第一步：擷取市場資訊

• 將賠率轉換為隱含機率
• 計算博彩公司抽成比例的佣金
• 估算公平機率（去除抽水）
• 確定損益平衡機率

步驟二：收集歷史數據

• 賽季總表現：該球員有多少次超過了這條線？
• 樣本數：需要多少場比賽？ （越多越好）
• 計算樣本比例與標準誤差
• 建立估計值的置信區間

步驟三：進行情境調整

• 相關類別的對手實力
• 主客場比較（如果樣本量足夠）
• 休息日和背靠背比賽
• 傷病狀況（球員及隊友）
• 近期趨勢（但由於樣本量小，需謹慎看待）

步驟 4：形成機率估計

• 充分考慮整個賽季的數據（大樣本）
• 適當調整以應對強烈的背景因素
• 考慮連勝期間的均值回歸
• 保持保守：如果不確定，則傾向於市場機率。

步驟五：計算期望值

• 使用公式：EV = (獲利機率 × 利潤) - (虧損機率 × 1)
• 進行敏感度分析：如果機率為±5%會怎樣？
• 考慮信賴區間：可能的期望值範圍

第六步：做出決定

• 只有當預期收益明顯為正（例如，+3% 或更高）時才下注。
• 放棄那些不確定性高的邊緣交易機會。
• 永遠不要因為「感覺」就下注。
• 追蹤你的投注並查看結果，以校準你的預測。

重要提示：此框架並不能保證獲利。它是一種系統性的機率思考方法。即使方法完美，波動性也會導致盈虧。目標是在多次投注中獲得正期望值，而不是贏得每一場投注。

電動車估算中的常見錯誤

1. 小樣本權重過高

“他最近5場比賽中有4場得分超過預設分數，所以他今晚很可能也會超過預設分數！”

問題： 5場比賽的樣本數太小。標準誤差約為22%，使得估計值幾乎毫無意義。 4勝1負的戰績很可能只是一個運氣好的50%勝率球員取得的。

2. 忽略均值迴歸

“他最近10場比賽的三分球命中率達到了50%，而職業生涯平均命中率只有35%。他顯然進步了很多！”

問題：小樣本造成的表象趨勢其實只是雜訊。除非有技術性的原因（例如傷病恢復、教練更換），否則應假定成績會回歸職業生涯平均水準。

3. 虛假精確度

“根據我的模型，我估計機率正好是 53.7%。”

問題：在數據有限的情況下，聲稱精度達到0.1%是沒有意義的。你的不確定度很可能在±5%到10%之間。請在分析中考慮這一點。

4. 確認偏誤

“我真的很喜歡這個結論，讓我找找數據來佐證。”

問題：你總是能找到精心挑選的統計數據來支持任何觀點。要使用系統化的框架並始終如一地遵循它，即使它與你的直覺相反。

5.忽略相關性

“我投注了同一場比賽中的五個不同的道具，每個道具都是獨立的正期望值！”

問題：同一場比賽中的投注項目之間存在相關性。如果比賽結果與預期不符（例如一邊倒、低比分等），多個投注項目可能會同時虧損。這會帶來投資組合風險，我們將在第三篇文章中討論；相關性的數學原理將在第四篇文章中詳細闡述。

6. 未追蹤結果

“我覺得我盈利了，但我沒有做賬。”

問題：沒有數據，你就無法改進機率估算，也無法判斷你的方法是否有效。追蹤每一筆投注：日期、投注項目、賠率、你的估算機率、結果以及盈虧情況。

電動車道具投注的實用建議

1. 專注於你的優勢

不要因為你持有某種觀點就下注。只有當你擁有真正優於市場的資訊或分析優勢時才應該下注。如果你使用的數據和其他人一樣，那麼你可能並不具備優勢。

2. 不確定時，小額投注

當你的機率估計信賴區間較寬時，應減少投注額（或乾脆不投注）。將最大的投注留給那些你對估計結果充滿信心的情況。我們將在第三篇文章中用凱利準則對此進行形式化闡述，該準則可以從數學上確定最佳投注額。

3. 專業化

與其投注多種運動/聯賽，不如專注於一兩項，從而培養真正的專業知識。觀看每一場比賽，追蹤各種背景因素，建立統計模型。專業化才能讓你獲得市場所不具備的優勢。

4. 追蹤所有訊息

保留詳細記錄：

• 日期和道具描述
• 賠率和你的估計機率
• 你對機率估計的理由
• 結果（贏/輸）和利潤/虧損
• 實際球員表現

投注超過100次後，分析一下：你的機率估計是否準確？當你估計機率為55%時，實際命中率是否接近55%？如果不是，請調整你的方法。

5. 接受差異

即使採用完美的正期望值投注，由於波動性，你也會經歷連敗。60%的勝率（非常棒！）仍然意味著每100次投注中會有40次虧損。不要因為一次糟糕的戰績就放棄穩健的策略。我們將在第三篇文章中深入探討波動性。

6. 知道何時該離開

如果經過 100 多筆精心追蹤的投注後，你仍然持續虧損，那麼以下兩種情況之一成立：

1. 你運氣不好（雖然有可能，但投注超過100次後發生的機率很低）。
2. 你實際上並沒有優勢（更有可能）。

對自己誠實一點。大多數賭徒並沒有真正的優勢。這並非道德敗壞——只是在有效市場中，想要戰勝對手非常困難。