球員道具分析中的常見謬誤

賭徒謬誤：對獨立性的誤解

賭徒謬誤是指錯誤地認為過去的獨立事件會影響未來的機率。在道具投注中，它表現為：

「A球員已經連續5場比賽得分低於他的總得分了。他今晚肯定會得分超過！”

為什麼這樣做是錯的

如果每場比賽都是獨立事件（對於許多道具來說，這是一個合理的假設），那麼今晚總分超過預設值的機率不會因過去的結果而改變。形式上：

對於獨立事件，條件機率等於無條件機率。過去的結果對今晚的結果沒有預測價值。

數學的現實

假設一名球員每場比賽都有 50% 的機率超過他的得分線（這是一個公平的投注）。那麼他連續 5 場比賽得分低於得分線的機率是多少？

這種情況很罕見（發生機率為1/32），這讓人感覺他「該」打出一個大分了。但這只是錯覺。 3.125%的機率是在連勝開始之前計算的。現在連勝已經發生，情況就不同了：

硬幣（或玩家）沒有記憶。每一局遊戲都是全新的，勝負各半。

過去的結果確實重要

過去的結果能夠更新我們對潛在機率的估計，因此具有參考價值。例如，如果我們認為某位球員得分超過預設值的機率為 50%，而他連續 10 場比賽得分低於預設值，那麼：

1. 我們運氣不好（0.5^10 = 0.1% 的機率），或
2. 我們之前估計的50%是錯誤的，實際機率更低。

貝葉斯推理表明我們應該更新為選項 2。但這與賭徒謬誤不同——我們不是說“他應該得到”，而是說“我們的機率估計可能不正確”。

範例

球員A的得分預測值為24.5。你最初根據賽季數據（n=50場比賽，28局）估計他得分超過24.5的機率為55%。但他現在已經連續5場比賽得分低於24.5了。

賭徒謬誤回應： “他該贏了！我要重註大分！”

正確的貝葉斯分析結果： “這5場比賽的樣本表明，我55%的估計值可能過高。總共有50場比賽，其中28場是大分（這5場比賽之後有23場大分，27場小分），我的更新估計值為23/50 = 46%。我不應該投注大分。”

這種謬誤認為過去的結果會使相反的情況更有可能發生。而正確的觀點則認為，過去的結果有助於我們估計真實的潛在機率。

「手感火熱謬誤」與真正的連勝/連敗

「手氣好」謬誤則與之相反：認為最近的成功可以預測未來的成功，而這種預測並沒有數據支持。

“B選手最近6場比賽都打出了大分。他狀態火熱！押大分吧！”

研究

經典心理學研究（Gilovich、Vallone 和 Tversky，1985）分析了籃球投籃，發現沒有證據表明連續投籃命中會增加下一次投籃命中的機率。球員連續投籃命中後再次投籃命中的機率並不比連續投籃不中後更高。

這表明「手氣好」很大程度上是一種錯覺——人類會在隨機序列中看到模式。

但等等——條紋現象真的存在嗎？

最近的研究（Miller & Sanjurjo，2018）表明，最初的分析存在一個細微的統計缺陷。經過更精確的分析，可以發現籃球投籃中存在「手感火熱效應」（命中率提升約2-4個百分點）的證據並不充分。

所以真相是複雜的：

• 大多數人們認為的「手感火熱」其實是隨機波動，表現為某種模式。
• 確實有手感火熱效應，但影響很小（2-4個百分點，而不是20個百分點）。
• 即使輕微的連勝或連敗是真實存在的，過度重視近期表現仍然是謬誤。

數學測驗

如何判斷連勝是真實發生的還是隨機發生的？計算偶然觀察到連勝的機率。

有 50% 真實機率的球員連續投出 6 個回合。機率：

這種情況雖然不太可能，但並非完全不可能。如果100名玩家每人打40場比賽，我們預期會有幾名玩家純粹出於偶然地取得6連勝。

正確解讀：這連串事件只能勉強證明真實機率超過50%，但並非強而有力的證據。我們應該適度更新估計值（或許從50%調整到52-54%），而不是大幅修正到75%。

均值回歸（預覽）

「手感火熱謬誤」忽略了均值回歸現象：極端表現之後往往會出現相對較不極端的表現。我們將在下一節中從數學角度探討這個現象。

均值迴歸：數學原理

均值迴歸是一種統計現象，而非心理偏差。極端值之後往往會出現不那麼極端的值，這是數學上的必然規律。

為什麼會發生這種情況

任何觀察到的表現都包含兩個組成部分：

當我們觀察到極端表現（非常高或非常低）時，很可能是：

1. 真正的技能有些極端，而且
2. 隨機變異在同一方向上表現得極為極端。

在下一場演出中，我們期待：

• 真正的技能保持不變
• 隨機變異會更接近平均值（根據隨機性的定義）。

因此，下一次表現可能不會像第一次那樣極端——這就是均值回歸。

回歸公式

如果球員的近期平均表現為 X_recent，長期平均表現為 X_longterm，則其預期的下一次表現為：

其中 w 是賦予最新數據的權重，它取決於：

• 近期資料的樣本量（樣本數越大→w值越高）
• 玩家穩定性（越穩定→w值越高）
• 變化原因（傷病恢復→w值升高；隨機連勝→w值降低）

體重的大致參考標準：

其中 n_recent 是最近樣本的大小，k 是一個常數（對於大多數玩家屬性來說約為 30-50），表示我們對長期資料的信任程度。

範例

C球員生涯200場比賽場均籃板6.2個。最近10場比賽，他場均籃板9.5個。我們預測今晚的比賽結果如何？

簡單粗暴的方法： “他最近的平均得分是 9.5 分，所以預測他今年的得分也是 9.5 分。”

正確的迴歸方法：

我們預測他場均籃板數為 6.86 個，這比他近期的火熱狀態更接近他的職業生涯平均水平。這解釋了他近期場均 9.5 個籃板很可能包含正的隨機波動。

回歸程度如何？

迴歸量取決於樣本大小：

如果只有5-10場「火熱」表現，我們應該將生涯數據權重提高80-90%。但多數投注者恰恰相反，過度看重近期數據。

樣本數忽略：小數定律

忽略樣本數不足是指未能考慮樣本量對信賴度的影響。小樣本存在巨大的不確定性，但投注者往往將其視為可靠的結果。

數學的現實

從com/article/expected-value-in-player-prop-betting/">文章 2，請記住，標準誤差取決於樣本大小：

95% 信賴區間的寬度約為 ±2 SE：

關鍵資訊： 10場比賽中，7局的機率為70%，因此95%信賴區間為[39%, 100%]。這與39%到100%之間的真實機率相符。數據幾乎無法告訴我們任何資訊！

範例

兩名玩家：

球員 E：在近 10 場比賽中，勝率超過預設值的機率為 70%（7 勝 3 負）

球員F：近100場比賽勝率超過預設值70%（70勝30負）

問題：我們應該更信任哪70%的人？

玩家 E（n=10）：

玩家 F（n=100）：

玩家F的70%勝率更可靠。玩家E的勝率很可能只有50%，只是運氣好而已。

最小樣本量規則

對於任何拆分或子集分析：

• n < 10：完全忽略純噪音
• n = 10-30：證據較弱，謹慎使用
• n = 30-50：證據中等，值得考慮。
• n > 50：證據充分，可用來可靠估計。

大多數道具投注者經常違反這項規則，只相信 5-10 場比賽的樣本。

敘事謬誤：故事重於統計數據

敘事謬誤是指圍繞隨機或統計現象來建構解釋性故事，然後用這些故事來預測未來的傾向。

共同敘事

• “他動力十足，因為他要對陣的是老東家！”
• “他們總是全力以赴地迎戰對手！”
• “這是一場必須贏的比賽，他一定會挺身而出！”
• “他正處於合約年，他會格外專注！”

為什麼敘事是危險的

這些說法有時或許屬實，但它們有以下問題：

1. 不可證偽性：如果他表現出色，這種說法就得到了證實。如果他表現不佳，我們就用其他理由搪塞過去（「他動力太強，壓力太大了」）。
2. 後見之明偏差：事後，我們會建構一些敘事來「解釋」結果。但這並不意味著這些敘事本身就具有預測能力。
3. 樣本量=1：我們只會記得某人「發揮出色」的那一次，而不會記得他們20次表現不佳的情況。

測試

在根據某種說法下注之前，請先問問自己：

1. 這可以測試嗎？我可以收集以往案例的資料嗎？
2. 數據顯示了什麼？球員在對陣老東家時是否真的表現得更好（平均而言，在樣本量足夠大的情況下）？
3. 這種影響是否已反映在價格上？如果這是一種已知現象，博彩公司應該已經對此進行了調整。

例如：「復仇遊戲」敘事

旁白：“球員G總是對他的老東家發飆！”

測試一下：球員G自被交易以來，已經與老東家交手4次。結果分別為：28分、18分、32分、22分。平均得分：25分。

生涯平均得分：24 分（n=200 場比賽）。

分析：

「復仇遊戲」效應在統計上與零沒有顯著差異。這種說法缺乏數據支持。

敘事的重要性

當敘述能夠指出可以用資料驗證的結構性變化時，它們就很有用：

• 「他缺席了20場比賽後現在已經恢復健康」→ 看上場時間、使用率
• 新教練為他設計了更多戰術 → 看每場比賽的投籃次數和觸球次數
• 「球隊擺爛，他上場時間會更多」→ 看實際上場時間趨勢

但要利用敘述來確定要測試的內容，而不是將敘述本身當作測試。

摘要：謬誤及其應對方法

建立一個不易出錯的投注流程

為了系統性地避免這些謬誤，需要建立一套一致的分析流程：

1. 使用標準化框架

對每個道具都按照相同的步驟操作，並基於文章 1-4 中的完整框架進行建造：

1. 利用文章 1中的技術（賠率轉換、持倉計算）提取市場信息
2. 收集歷史資料並計算信賴區間（第 2 條）
3. 以樣本量加權並對平均值應用迴歸（第 2 條）
4. 謹慎運用情境調整（第二條）
5. 計算期望值（第二條）
6. 使用凱利準則進行投注規模計算（文章 3 ）
7. 如果對同一場比賽中的多個道具進行投注，則需要考慮相關性（第 4 條）

永遠不要因為「感覺」或「直覺」而偏離你的流程。

2. 記錄決策日誌

記錄每筆投注：

• 你的機率估計和推理
• 你考慮了哪些數據？
• 你忽略了哪些數據？為什麼？
• 結果和球員實際表現

每季回顧：你是否陷入了某種模式？是否過度重視近期比賽？是否選擇性地引用資料？

3. 計算校準值

下注 50 次以上後，測試一下你的校準：

• 當你估計機率為 55% 時，道具命中率是否約為 55%？
• 當你估計機率為 65% 時，道具命中率是否約為 65%？

如果你的校準不準確（估計為 60%，但實際上達到 50%），你就陷入了謬誤——很可能是過度自信和確認偏誤。

4. 使用基本費率

始終以基準率（職業生涯平均值、賽季平均值）為起點，並需要強有力的證據才能證明其偏離基準。舉證責任在於近期數據，以推翻大樣本職業生涯數據。

5. 接受不確定性

以範圍而非具體數值表示估算值：

• 錯誤：“我估計機率正好是 57.3%”
• 好的：「我估計機率在54%到60%之間，最佳猜測是57%」。

這種謙遜可以防止過度自信和過大的賭注。

6. 尋找反駁證據

在下注之前，務必刻意尋找不下注的理由。如果你找不到任何反駁證據，表示你尋找得還不夠仔細──這就是確認偏誤在作祟。