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Perfect Bracket完美賽程表的機率
簡介
我在三⽉份收到海量的問題就是, 「要架構出⼀個完整完美的March Madness bracket三⽉狂熱賽程表的機率是如何呢？」在媒體上⼀個最常 被引述的統計數字是9,223,372,036,854,780,000分之⼀。這個引述數字 是基於隨機的臆測、沒有⼈會這樣做, 這樣讓我感到⽑⾻悚然。這裡我將 給你可以遵循的基本策略, 無須知道籃球, 並且以所說的策略去估算你的成 功機率。
規則
以下是⼤賽的規則。如果你已經知道的話, 你可以跳過這個部分。
針對⼤多數⺫的, ⼤賽採取single elimination單⼀淘汰制, 從64⽀球隊開 始。為了滿⾜我的完美主義讀者們, 事實上總共有68⽀隊伍, 其中的⼋隊會 在四場賽事當中配對⽐賽。這四場賽事的贏家們、加上60⽀其他的球隊, 最後就成了64⽀隊伍, 這時賽程表才正式開始。
這64⽀球隊會被分成四組不同的conferences區域聯盟, North北、South 南、West⻄、East東, 每個聯盟各有16⽀隊伍。每個聯盟當中的每⼀隊將 會有⼀個「seed種⼦」排⾏, 從1到16, 代表他們能⼒的排名, 雖然這並⾮ 是個完美的⽅法。接下來就可能會發⽣:
- 四⽀1 seeds種⼦球隊將會在四組16 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀8 seeds種⼦球隊將會在四組9 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀5 seeds種⼦球隊將會在四組12 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀4 seeds種⼦球隊將會在四組13 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀6 seeds種⼦球隊將會在四組11 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀3 seeds種⼦球隊將會在四組14 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀2 seeds種⼦球隊將會在四組15 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 四⽀7 seeds種⼦球隊將會在四組10 seeds種⼦隊聯盟⽐賽。
- 在1⾄8階段的⽐賽之後, 64⽀隊伍將會被縮減⾄32隊。
- 規則1的贏家們將會從規則2當中的⽐賽勝出。
- 規則3的贏家們將會從規則4當中的⽐賽勝出。
- 規則5的贏家們將會從規則6當中的⽐賽勝出。
- 規則7的贏家們將會從規則8當中的⽐賽勝出。
- 在10⾄13階段的⽐賽之後, 32⽀隊伍將會被縮減⾄16隊。
- 規則10的贏家們將會從規則11當中的⽐賽勝出。
- 規則12的贏家們將會從規則13當中的⽐賽勝出.
- 在15⾄16階段的⽐賽之後, 16⽀隊伍將會被縮減⾄8隊。
- 規則15的贏家們將會從規則16當中的⽐賽勝出。
- 在18階段的⽐賽之後, 8⽀隊伍將會被縮減⾄4隊。這樣就建⽴了四組 聯盟各⾃的勝出者。
- 地區的#1勝出者由NCAA籃球委員會決定、並選出⼤賽球隊參與該地 區#4整體隊伍的贏家⽐賽; 由贏者勝出。
- 兩個地區的勝出者, 更不必說在規則20, 彼此互相⽐賽, 由贏者勝出。
- 在階段20與21的勝出者將互相⽐賽, 勝出者贏得⼤賽。
旦從64⽀隊伍開始, 在⼤賽當中就有 32+16+8+4+2+1=63場⽐賽。
基本策略
總是選取較⾼種⼦排名的球隊, 或是較低的次數。例如, 在四場⽐賽當中、 編號1 seed種⼦隊與16 seeds種⼦隊⽐賽, 選取編號1 seed種⼦隊。在 136次⽐賽、1 seed種⼦隊與16 seed種⼦隊⽐賽, 編號1 seed種⼦隊贏了 135次⽐賽。2018年那屆⾒到第⼀號1 seed種⼦隊輸給16 seed種⼦隊、 當時UMBC⾺⾥蘭⼤學巴爾的摩分校(該校有極強的⻄洋棋隊)擊敗 University of Virginia維吉尼亞⼤學。
當你達到四個分區聯盟各⾃的第⼀種⼦球隊勝出者時, 隨機選取剩下的三 場⽐賽。
分析
以下的分析是基於1985年⾄2019年34次球季的⽐賽。以下的列表顯⽰每 ⼀場不對稱搭配所發⽣的次數、較⾼種⼦排名勝出的次數、還有機率等 等, 根據這份資料, 較⾼排名的隊伍勝出。不可能發⽣的搭配狀況, 像是1 seed種⼦球隊與15 seed球隊⽐賽, 並沒有顯⽰出來。
三⽉狂熱Match-Ups對賽搭配 (1985-2019)
| 較⾼排名種⼦ |
較低排名種⼦ |
⽐賽次數 |
較⾼種⼦勝出 |
較⾼種⼦勝出機率 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1擊敗16 | 0.992857 | 4 | 0.971733 |
| 1 | 2擊敗15 | 0.935714 | 4 | 0.766607 |
| 1 | 3擊敗14 | 0.850000 | 4 | 0.522006 |
| 1 | 4擊敗13 | 0.792857 | 4 | 0.395166 |
| 1 | 5擊敗12 | 0.642857 | 4 | 0.170788 |
| 1 | 6擊敗11 | 0.628571 | 4 | 0.156106 |
| 1 | 7擊敗10 | 0.607143 | 4 | 0.135883 |
| 1 | 8擊敗9 | 0.507143 | 4 | 0.066149 |
| 2 | 1擊敗8 | 0.805556 | 4 | 0.421097 |
| 2 | 4擊敗5 | 0.554054 | 4 | 0.094234 |
| 2 | 3擊敗6 | 0.602740 | 4 | 0.131983 |
| 2 | 2擊敗7 | 0.703704 | 4 | 0.245222 |
| 3 | 1擊敗4 | 0.730159 | 4 | 0.284229 |
| 3 | 2擊敗3 | 0.607143 | 4 | 0.135883 |
| 4 | 1擊敗2 | 0.530303 | 4 | 0.079085 |
| 5 | 1擊敗1 | 0.500000 | 2 | 0.250000 |
| 6 | 1擊敗1 | 0.500000 | 1 | 0.500000 |
下個列表顯⽰你必須在每次match-up對賽搭配要贏多少次、才能完成⼀份 完美的賽程表。例如, 第⼀⾏顯⽰在第⼀輪⽐賽, 1 seed種⼦隊必須擊敗16 seed種⼦隊四次。每場⽐賽贏的機率為0.992647, 所以四場全贏的機率為 0.9926474 = 0.970911.
三⽉狂熱Match-Ups對賽搭配
| 回合 | 對賽搭配 | 贏的機率 |
⽐賽次數 |
全贏的機率 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 66 | 35 | 0.530303 |
| 1 | 3 | 35 | 21 | 0.600000 |
| 1 | 4 | 63 | 46 | 0.730159 |
| 1 | 5 | 46 | 38 | 0.826087 |
| 1 | 6 | 12 | 9 | 0.750000 |
| 1 | 7 | 7 | 6 | 0.857143 |
| 1 | 8 | 72 | 58 | 0.805556 |
| 1 | 9 | 70 | 64 | 0.914286 |
| 1 | 10 | 6 | 5 | 0.833333 |
| 1 | 11 | 6 | 3 | 0.500000 |
| 1 | 12 | 20 | 20 | 1.000000 |
| 1 | 13 | 4 | 4 | 1.000000 |
| 1 | 16 | 140 | 139 | 0.992857 |
| 2 | 3 | 56 | 34 | 0.607143 |
| 2 | 4 | 7 | 3 | 0.428571 |
| 2 | 5 | 5 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 6 | 30 | 23 | 0.766667 |
| 2 | 7 | 81 | 57 | 0.703704 |
| 2 | 8 | 7 | 2 | 0.285714 |
| 2 | 9 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 2 | 10 | 50 | 32 | 0.640000 |
| 2 | 11 | 16 | 14 | 0.875000 |
| 2 | 12 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 2 | 15 | 140 | 131 | 0.935714 |
| 3 | 4 | 7 | 4 | 0.571429 |
| 3 | 5 | 4 | 2 | 0.500000 |
| 3 | 6 | 73 | 44 | 0.602740 |
| 3 | 7 | 15 | 9 | 0.600000 |
| 3 | 8 | 2 | 2 | 1.000000 |
| 3 | 9 | 2 | 2 | 1.000000 |
| 3 | 10 | 12 | 8 | 0.666667 |
| 3 | 11 | 48 | 32 | 0.666667 |
| 3 | 14 | 140 | 119 | 0.850000 |
| 3 | 15 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 4 | 5 | 74 | 41 | 0.554054 |
| 4 | 6 | 4 | 2 | 0.500000 |
| 4 | 7 | 5 | 2 | 0.400000 |
| 4 | 8 | 9 | 4 | 0.444444 |
| 4 | 9 | 3 | 2 | 0.666667 |
| 4 | 10 | 2 | 2 | 1.000000 |
| 4 | 12 | 38 | 26 | 0.684211 |
| 4 | 13 | 140 | 111 | 0.792857 |
| 5 | 6 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 5 | 8 | 3 | 1 | 0.333333 |
| 5 | 9 | 3 | 1 | 0.333333 |
| 5 | 10 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 5 | 12 | 140 | 90 | 0.642857 |
| 5 | 13 | 17 | 14 | 0.823529 |
| 6 | 7 | 8 | 5 | 0.625000 |
| 6 | 8 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 6 | 10 | 7 | 4 | 0.571429 |
| 6 | 11 | 140 | 88 | 0.628571 |
| 6 | 14 | 15 | 13 | 0.866667 |
| 7 | 8 | 2 | 1 | 0.500000 |
| 7 | 10 | 140 | 85 | 0.607143 |
| 7 | 11 | 3 | 0 | 0.000000 |
| 7 | 14 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 7 | 15 | 4 | 3 | 0.750000 |
| 8 | 9 | 140 | 71 | 0.507143 |
| 8 | 11 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 8 | 12 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 8 | 13 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 8 | 16 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 9 | 11 | 1 | 0 | 0.000000 |
| 9 | 13 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 10 | 11 | 3 | 1 | 0.333333 |
| 10 | 14 | 1 | 1 | 1.000000 |
| 10 | 15 | 5 | 5 | 1.000000 |
| 11 | 14 | 6 | 5 | 0.833333 |
| 12 | 13 | 12 | 9 | 0.750000 |
下個列表顯⽰每⼀回合⽐賽存活的機率, 由你設定的賽事回合⽽定。例如, 在32場⽐賽第⼀回合存活的機率為27,156分之⼀。為了正確完成整個賽程 表的機率, 在列表底下將機率相乘。最底下橫欄即是完美賽程表的機率 0.000000000018, 或是554億分之⼀。
完美賽程表的勝出機率
| 回合 | 存活機率 |
逆機率 |
|---|---|---|
| 1 | 0.000036824497 | 27,155.84 |
| 2 | 0.001284307886 | 778.63 |
| 3 | 0.038621815874 | 25.89 |
| 4 | 0.079085421795 | 12.64 |
| 5 | 0.250000000000 | 4.00 |
| 6 | 0.500000000000 | 2.00 |
| 乘積 | 0.000000000018 | 55,380,246,801 |
順帶⼀提, 在2018年⼤賽之後的機率為42,743,890,552分之⼀。
Warren Buffett Prize巴菲特獎⾦
Warren Buffett巴菲特提供每⼀年$1,000,000終⽣獎⾦給他的任何⼀位員 ⼯、若有⼈能夠完成⼀份完美的賽程表。Warren有⼤約377,000位員⼯ (料來源). 假設每個⼈都遵循以上的策略, 並且再活60年, 讓Mr. Buffet巴菲 特先⽣花費的期望值代價為$408.45.
如果你不想要冒險與別⼈按照我的策略⽽⼀起分享perfect bracket完美賽 程表的榮耀, 我會建議選取⼀兩隊9 seeds球隊去擊敗⼀⽀8 seed球隊。9 seeds球隊擊敗8 seed球隊的機率為47.8%, 所以只有⼩⼩的犧牲、就可以 增加你獨得完美賽程表榮耀的機會。
三⽉狂熱主題
以下列表顯⽰按照seed種⼦數勝出的expected number期望次數。這可能 對於proposition bets主題押注的分析有⽤, 像是在Pac 12 conference太平 洋⼗⼆校聯盟當中的球隊有多少次⽐賽會贏。要得到勝出的期望次數, 將 每⼀⽀球隊的期望贏數加總起來, 按照它的seed種⼦排⾏來列出。
按照種⼦排⾏的期望贏數
| 種⼦排⾏ | 期望贏數 |
|---|---|
| 1 | 3.350000 |
| 2 | 2.364286 |
| 3 | 1.864286 |
| 4 | 1.535714 |
| 5 | 1.114286 |
| 6 | 1.085714 |
| 7 | 0.907143 |
| 8 | 0.721429 |
| 9 | 0.578571 |
| 10 | 0.621429 |
| 11 | 0.600000 |
| 12 | 0.514286 |
| 13 | 0.250000 |
| 14 | 0.164286 |
| 15 | 0.071429 |
| 16 | 0.007143 |
| 總計 | 15.750000 |
另⼀個普遍的問題是, 「種⼦排⾏第⼀的會贏嗎？」在寫作本⽂的35個球 季當中, 種⼦排⾏第⼀的贏過22次, 其機率為62.9%.
另⼀個普遍的問題是, 「種⼦排⾏14到16會贏嗎？」根據資料, 我估計種 ⼦排⾏14到16⾄少會贏⼀次的機率為61.1%.
不過另⼀種型態的押注是種⼦排⾏第⼀名將會打⼊Final Four最後四強決 賽的次數。我顯⽰出任何給定的種⼦排⾏第⼀名在它的地區勝出的機率, 因⽽進⼊Final Four最後四強決賽, 其機率為40.7%. 那麼, 1.63次種⼦排⾏ 第⼀名的球隊、在平均上, 將會進⼊Final Four最後四強決賽。以下的列表 顯⽰種⼦排⾏第⼀名的球隊、0到4次會進⼊Final Four最後四強決賽的機 率。
種⼦排⾏第⼀名預期會進⼊最後四強決賽
| 次數 | 機率 |
|---|---|
| 4 | 2.75% |
| 3 | 16.00% |
| 2 | 34.96% |
| 1 | 33.94% |
| 0 | 12.35% |
| 總計 | 100.00% |
你可能會⾒到⼀種押注是種⼦排⾏第⼀名進⼊Final Four最後四強決賽的 次數超過/低於1.5次。低於1.5次的機率為 12.35% + 33.94% = 46.27%.
外部連結
關於本篇專⾴的討論區在 Wizard of Vegas拉斯維加斯的巫師.