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Kelly Criterion凱利準則
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簡介
Kelly Criterion凱利準則是⼀種押注⾦額的技巧、針對優勢賭客對於risk⾵ 險與reward回報兩者之間的平衡。相同的原理也可運⽤在任何能夠獲利的 投資上⾯。針對賭客/投資者俱備平均的投注資本與固定的押注⾦額, 在⼀ 筆押注之後的預期資⾦成⻑為:
例如, 假設⼀家賭場推⾏Craps花旗骰的促銷活動, 總點數為2點⽀付3⽐1 的賠率、12點⽀付4⽐1的賠率。3點, 4點, 9點, 10點, 11點還是維持⽀付1 ⽐1的賠率, 其他的總點數則算輸。2點或12點的機率各為1/36, 任何even money等額注⾦賠率的贏注機率為14/36, 輸注的機率為20/36. 假設玩家每 ⼀筆押注⾦額為其資⾦的1%. 則每⼀筆押注預期的資⾦增⻑為:
(1 + (0.01*3))^(1/36) * (1 + (0.01*1)^(14/36) * (1 + (0.01*-1))^(20/36) * (1 + (0.01*4))^(1/36)) - 1 = 0.00019661.
這項乘積是Kelly betting凱利押注的最⼤值。Kelly betting凱利押注也最⼩ 化達到加倍資⾦所需要的押注次數, 押注⾦額總是以⺫前資⾦的⽐例來做 出調整。
Kelly押注的⾦額是針對賭客的平均贏注機率、得出能夠最⼤化預期資⾦成 ⻑的最佳押注⾦額。當押注多過Kelly的押注⾦額時、相較於剛好押注 Kelly⾦額的狀況, 過多押注所增加的不穩定性將會導致⻑期資⾦成⻑的下 降。押注雙倍的Kelly⾦額會導致預期資⾦的零成⻑。任何⼤過雙倍Kelly ⾦額的押注、將會導致預期資⾦的減少。最常⾒的是押注少於Kelly⾦額的 狀況, 如此會降低預期的成⻑, 也會降低資⾦的不穩定性。例如, 押注⼀半 的Kelly⾦額, 會降低50%的資⾦不穩定性, 不過成⻑卻只有25%.
針對只有兩種結果的簡單押注, 最佳的Kelly bet凱利押注是優勢除以「to one⽐⼀」賠率基準的押注⽀付。⾄於超過⼀種可能結果的押注, 最佳的 Kelly wager凱利押注是最⼤化押注之後的資⾦log對數值。然⽽, 針對超過 ⼀種可能結果的押注, 可能很難得出結果。⼤部分的賭客都是運⽤ advantage優勢/variance變異數來當作估計值, 那是相當好的⼀種估值。 例如, 如果⼀種押注有2%的優勢, ⽽variance變異數有4種, 賭客運⽤「full Kelly完全凱利押注⾦額」將會押注 0.02/4 = 0.5% 的資⾦在那次賭局上。 記住variance變異數為standard deviation標準均⽅差的平⽅, 這個數值在 我的 Game Comparison Guide遊戲⽐較指南當中列出的許多遊戲裡都 有。.
讓我們查看以下三種範例:
範例1: ⼀位算牌者在算牌時可以得知1%的優勢。從我的Game Comparison Guide遊戲⽐較指南, 我們知道Blackjack⼆⼗⼀點的standard deviation標準均⽅差為1.15（這個數值會隨著規則與算牌⽽有變化）。如 果standard deviation標準均⽅差為1.15, 則variance變異數為 1.152 = 1.3225. 押注相對於資⾦的佔⽐為 0.01 / 1.3225 = 0.76%.
範例2: 城裡⼀家賭場提供video poker視頻撲克5X點數的促銷活動。通常 在slot club⽼⻁機俱樂部free play免費試玩在2/9⽼⻁機當中⽀付1%. 所以 在5X, ⽼⻁機俱樂部⽀付1.11%. 最佳的遊戲是「9/6 Jacks or Better」視 頻撲克、其回報率為99.54%. 在⽼⻁機俱樂部的點數之後, 其回報率為 99.54% + 1.11% = 100.65%, 或者是0.65%的優勢。在「Game Comparison Guide遊戲⽐較指南」當中顯⽰「9/6 Jacks or Better」的 standard deviation標準均⽅差為4.42, 所以variance變異數為19.5364. 押 注相對於資⾦的佔⽐為 0.0065 / 19.5364 = 0.033%. 順便⼀提的是, 當我 寫作本⽂時的2007年9⽉2⽇和3⽇, Wynn永利賭場剛好正在提供這種促銷 活動。
範例3: ⼀種運動投注有20%的贏注機會, ⽀付賠率為9⽐2. 其優勢為 0.2×4.5 + 0.8×-1 = 0.1. 最佳的Kelly wager凱利押注為 0.1/4.5 = 2.22%.
以下為範例3的數學運算。假設 x 為最佳的Kelly bet凱利押注, 押注之前的 資⾦為1. 預期的押注之後的資⾦log對數值為...
f(x) = 0.2 × log(1+4.5x) + 0.8 × log(1-x)
要最⼤化f(x), 將函數設為零來推算。
f'(x) = 0.2 × 4.5 / (1+4.5x) - 0.8 / (1-x) = 0
0.9 / (1+4.5x) = 0.8/(1-x)
0.9 - 0.9x = 0.8 + 3.6 x
4.5x = 0.1
x = .1/4.5 = 1/45 = 2.22%
當超過⼀種可能結果時、數學推算會更加繁雜, 例如在video poker視頻撲 克的情況。⽅法還是相同, 不過要得出 x 會更加困難。在這種情況要解出x 的最簡單⽅法, 依我所⾒, 是利⽤不同的數值加以實驗, 運⽤較⾼或較低的 技巧（像是「Price is Right價錢是正確的」Clock Game時鐘遊戲）, 直到 f’(x)趨近於零。
我針對回報率超過100%的兩種普遍video poker視頻撲克遊戲來做這個運 算。針對「Full Pay Deuces Wild滿付2點⺩牌」、回報率為100.76%, 最 佳押注⾦額為資⾦的0.0345%. 針對「10/7 Double Bonus加倍紅利」、回 報率為100.17%, 最佳押注⾦額為資⾦的0.0062637%. 我聽過⼀種實⽤⽅ 法是, 你在視頻撲克要運⽤它、應該準備同花⼤順獎⾦的3到5倍資⾦去 玩。如果是玩「Full Pay Deuces Wild滿付2點⺩牌」, 則資⾦是3.66倍的 同花⼤順獎⾦。針對「10/7 Double Bonus加倍紅利」, 則是19.96倍的同 花⼤順獎⾦。
模擬
為了要證明我的論點、Kelly最⼩化押注的次數以達到加倍的資⾦, 我假設 ⼀種even money等額注⾦賠率的押注、俱有51%的贏注機會, 也就是2% 的優勢, 和2%的Kelly押注⾦額。這裡是在不同的押注⾦額、平均需要押注 多少次才能讓資⾦加倍。如果在⼀筆贏注的押注⾦額、押注者必須押注超 過加倍資⾦所需要的⾦額時, 那麼他只要押注剛好能夠加倍資⾦的⾦額即 可。
加倍資⾦的平均押注次數
| 押注⾦額 | 平均押注次數 |
|---|---|
| 0.5% | 7,901 |
| 1% | 4,617 |
| 2% | 3,496 |
| 3% | 4,477 |
Kelly Vs. 最佳視頻撲克策略
在我的 2007年9⽉20⽇Ask the Wizard請問巫師專欄 當中, 我建議Kelly押 注者有時候不要按照最佳視頻撲克策略去玩牌。我的理由在那裡有解釋 過。
連結到Kelly
德⽂版翻譯 本篇專⾴的。
Fortune’s Formula by William Poundstone. 閱讀我的評論。
Kelly的⼀種不錯的材料來源, 特別是關於Blackjack⼆⼗⼀點, 是 Blackjack Attack⼆⼗⼀點攻擊 by Don Schlesinger.
SBRForum.com 針對Kelly有不錯的材料, 包括⽂章《A Quantitative Introduction to the Kelly Criterion凱利準則的量化介紹》, part I 和 part II, 還有⼀種 Kelly calculator計算器 。
Kelly Criterion凱利準則的 Wikipedia維基百科。