請問巫師 #5
你真的相信像二十一點這樣的線上賭博網站嗎？幾週前我玩過一個。那次遊戲，荷官拿到了14張二十一點，而我拿到了3張。我只是有點懷疑，也對你的評論感興趣。謝謝。
在前 20 張黑傑克中，你剛好拿到 x 張的機率是 (1/2) 20 * combin (20, x)。讓我來幫你省點事。以下是前 20 張剛好拿到 0 到 3 張黑傑克的機率：
Pr(0) = 0.0000010
Pr(1) = 0.0000191
Pr(2) = 0.0001812
Pr(3) = 0.0010872
Pr(3 或更少) = 0.0012884
所以，3 或更少的機率是 776 分之一。這不足以構成作弊指控。這很可能只是運氣不好。
就我個人而言，我希望看到結果低於預期四個標準差（機率為31,574分之一）才會產生懷疑。如果結果低於預期五個標準差（機率為350萬分之一），我才會正式提出指控。
根據你的二十一點軟體牌桌， Unified Gaming和Boss Media系統都為玩家帶來了些許優勢。如果是這樣，那麼使用這些軟體系統的賭場如何獲利呢？是因為使用基本策略和/或良好資金管理技巧的玩家相對較少嗎？
賭場在二十一點中有何優勢？
莊家佔優勢，因為玩家必須先出牌。如果雙方都爆牌，雖然不算平局，但你輸了。
單副牌二十一點的牌是面朝下發的嗎？單副牌的一般規則是什麼？我知道您提到只有9-11或10-11點可以加倍，但您知道單副牌的分牌後加倍、莊家要牌軟17點等等的一般規則是什麼嗎？我是一個基礎策略型玩家，想了解單副牌的規則（我只玩過6副或8副牌），這樣我就可以從blackjackinfo.com網站取得完美的電子表格。非常感謝您的幫忙！
單副牌二十一點的規則通常很嚴格。牌面朝下發牌。加倍通常限制在9比11或10比11。莊家拿到軟17點後加倍，分牌後可能不准加倍。如果二十一點的賠率低於3比2（單副牌遊戲通常如此），請務必不要玩。
您可以在我的“拉斯維加斯巫師”網站上隨時查看拉斯維加斯相對較新的二十一點規則。
如果您擲 6 個六面標準骰子，擲出六個相同點數的機率是多少？
答案是 6*(1/6) 6 = 6/46,656 = 1/7,776 =~ 0.0001286 。
考慮一個賓果遊戲，共有 75 張隨機的賓果卡。然後根據標準賓果規則抽出 12 個隨機數字。那麼，出現賓果的機率是不是 75 × 0.00199521？（我從你們賓果機率的表格中取得這個數字，即在 12 個被叫出的數字內出現標準賓果的機率為 0.00199521）如果不是，那實際上出現賓果的機率應該是多少呢？你們的網頁真的很棒。
你說得對，根據我計算賓果 機率的表格，任何一人在抽出 12 個號碼內得到賓果的機率是 0.00199521。
一般來說，如果某事件發生的概率是 p，那麼該事件在 n 次嘗試中至少發生一次的概率為 1-(1-p)n。在此情況下，至少有一人獲得賓果的機率為 1 - 0.0019952175 = 1 - .9980048 75 = 1 -.8608886 = .1391114。
然而，在賓果遊戲中我們不能使用上述方法，因為所有賓果卡都是根據同一組抽出的號碼球來進行的。解釋起來有點複雜，但由於賓果卡上的數字是按照每列15個可能的數字排列成五列的，因此所預期的開球數目是有關聯的。要準確回答你的問題，需要通過隨機模擬來實現。如果不進行模擬的話，13.9% 可以作為一個粗略的合理估計。
當我計算加勒比海梭哈撲克玩家與莊家手牌的組合數時，僅得到3,986,646,103,440種，而您的結果卻是19...等，相差正好5倍。我使用了組合函數(52,5)*組合函數(47,5)。請問我的計算哪裡出錯了？感謝您，我認為您的網站非常出色。
感謝您的讚美。您的計算少了五倍，因為莊家可以任意一張牌面朝上。換句話說，莊家的手牌順序確實重要，因為第一張牌是明牌。正確的總組合數推導應為combin(52,5)*47*combin(46,4) = 19,933,230,517,200。
我在當地一家賭場幸運地拿到了四張同點牌，隨後受邀參加一場「Let it Ride」錦標賽。大約有300名玩家將爭奪相當可觀的獎金。我的問題是，你認為最佳策略是什麼？每位玩家將獲得5000美元的遊戲籌碼，每手牌最低下注額為25美元。比賽將進行“預賽”，第一輪淘汰100人，第二輪淘汰25人，第三輪淘汰6人，然後進行決賽。
桌上遊戲錦標賽策略非常複雜。不過，簡而言之，我會在每輪的早期階段等待時機。有時你的對手會筋疲力盡，你無需付出任何努力就能晉級。當牌局剩下大約五手時，你需要對任何遠遠領先於你的玩家採取行動。這是你要嘛先入場，要嘛破產的時機。最好等到你最大的競爭對手之後再行動，再下大注。
抽三張牌拿到對⼦與抽五張牌撲克拿到full house葫蘆的概率是多少？
在這種狀況拿到full house葫蘆有兩種⽅式: (1)抽到三條、或者(2)對⼦再抽到⼀張同點數牌、還有另⼀個對⼦。我將假設你會捨棄三張各⾃不同的單牌。 ⾸先, 讓我們先從(1)的排列組合總數著⼿算起。那裡只剩下3種花⾊的3種點數牌(記住你已經捨棄3張各⾃不同的單牌)、4種花⾊的9種點數牌。其排列組合總數為 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39. 接下來, 讓我們算⼀下(2)狀況的排列組合總數。從既有對⼦再加上⼀張相同點數牌、還剩下有2張牌。剩餘的3張牌當中形成3種點數的對⼦有combin(3,2)種⽅式, 剩餘的4張牌當中再形成⼀個對⼦有combin(4,2)種⽅式。所以在(2)的排列組合總數為 2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) =2*(3*3 + 9*6) = 126. 在(1)與(2)狀況之下形成full house葫蘆的⽅式總和為39+126=165. 第⼆輪抽牌要從3張牌選取的⽅式有combin(47,3)=16,215種。拿到full house葫蘆的機率為抽牌⽅式除以排列組合總數, 為165/16,215 = 0.0101758, 或者差不多是98分之⼀。 欲知combin()函數的更多資訊, 請參閱我的 撲克中的機率 專⾴。
何時是小費的最佳給予時機，以及應該將小費放在何處？是否應該告知發牌員您正在給他們小費？我經常擔心監控攝像頭的視線、小費的放置位置、該給多少小費，以及關於小費該說些什麼。
一般來說，桌上幾乎所有動作都應透過手勢和籌碼擺放來傳達，包括給小費。大多數時候，玩家會為荷官下注。具體做法是將小費放在押注圈邊緣，同時將自己的賭注放在中央。由於小費被視為你下注的一部分（只是指定給荷官），因此不受最低賭注限制。若你對自己的賭注加倍或分牌，也應同樣處理荷官的那份。若你贏了，荷官會分別支付你的賭注和小費。切勿觸碰小費或小費的贏利，讓荷官自行收取。有次我忘了自己為荷官下注，正準備把小費和贏利收進籌碼堆時，荷官開口：「我以為那是給我的！」不用說，當時我非常尷尬，趕緊把錢還給荷官。
假設彩票有 1000 萬種可能的中獎組合，假設售出 1000 萬張彩票，那麼有人以 90% 的機率中獎的機率是多少？顯然，這個機率不會是 100%，因為有些彩票是重複的。我更感興趣的是解決問題的方法，而不是答案。
讓我們試著重新表達這個問題。假設彩券有 1000 萬種組合，所有玩家隨機選擇號碼（允許重複），那麼彩券需要售出多少張彩券才能讓至少一人中獎的機率達到 90%？設中獎機率為 p，售出的彩券數量為 n。 1 人輸掉的機率是 1-p。 n 人全部輸掉的機率是 (1-p) n 。至少有一人中獎的機率是 1 - (1-p) n 。因此，我們需要將其設為 0.9，並解出 n。
.9 = 1 - (1-p) n
.1 = (1-p) n
ln(.1) = ln((1-p) n )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23,025,850。
因此，彩票需要售出23,025,850張彩票，才能使至少一位中獎者的機率達到90%。如果你想知道，如果彩票恰好售出1000萬張彩票，那麼至少一位中獎者的機率將是63.2%，非常接近1-(1/e)。