請問巫師 專欄158 附錄

在NBA美國職籃, 每個聯盟有3個分⽀, 每個聯盟的8⽀球隊最後進⼊決 賽。各聯盟最頂級的3⽀seeds種⼦球隊分別是各分⽀的冠軍, ⽽#4到#8的 seeds種⼦球隊則是最佳紀錄的non-division⾮分⽀贏家。今年, 有2⽀球隊 來⾃Western Conference⻄部聯盟的相同分⽀, Spurs⾺刺隊與Mavericks 獨⾏俠隊, 在⻄區俱備最⾼的紀錄。如果按照這樣下去, 代表Western Conference⻄部聯盟當中第⼆強的球隊將會在第⼆輪時對戰#4種⼦球 隊、如果他們雙⽅都勝出的話。許多⼈指出這點為體制上的問題, ⽽NBA 美國職籃將之認定為反常現象。為了費⼒解釋這並⾮是反常的情況、因為 它可能常常會發⽣, 最近ESPN運動頻道在⼀則博客做出以下的說明: 「每 個聯盟各有15⽀球隊, ⽽其中三個分⽀各有五⽀球隊。那表⽰有14分之4 的機會、第⼆⽀最佳紀錄的球隊將會來⾃相同的分⽀、因為該隊保有最佳 的記錄。」他認為在某個特定聯盟當中有4/14的機會出現這樣的情況、這 樣的論點是對的嗎？你如何得出這樣的結果？如果他是對的, 那麼⾄少在 ⼀個聯盟當中會發⽣這種狀況的機率為57%, 對吧? — AJ from Huntington Woods, MI

是的, 他是對的。從15⽀球隊當中選出最佳的兩⽀球隊、共有 combin(15,2)=105種⽅式。從既有分⽀當中有 3*combin(5,3)=30種⽅式 可以選出他們。所以來⾃相同分⽀選出最佳兩⽀球隊的機率為 30/105 = 4/14. 這樣的狀況來⾃⾄少⼀個聯盟的機率為 1-(10/14)2 = 48.98%.

位讀者來信批評我的假設。這裡是他的e-mail電郵全⽂

嗨 巫師,

我是你網站的忠實讀者 - 這裡有海量的資訊。讀過某些你較舊的「Ask the Wizard請問巫師」專⾴, 我遇到⼀個問題、我認為解決的⽅式太過於 簡化了。可以再深⼊檢視、⽽⾮只⽤資訊來解決問題。我認為你所給出的 答案實際上⽐起真正的解答還要更加⾼深。

問題是, 在「Ask the Wizard請問巫師」 # 158, 那是關於NBA美國職籃選 拔種⼦球隊的問題。其主張為, 在⼀個聯盟當中的最頂端兩⽀球隊、來⾃ 相同分⽀的機會是14分之4. 你所給出的解答似乎是假設每⽀球隊在聯盟 的最後決賽時都俱有相同的排名可能性。這個論點或許是對的, 並且可以 安全假設這個問題, 接著你似乎⼜假設每⼀⽀球隊在任何的3個分⽀當中都 有相等的排名。我不認為這完全就是本案例所描述的, 我相信會是這樣、 那是因為排名的達成⽅式。亦即, 透過⽐賽、獲得積分, 每⽀球隊的排名並 ⾮獨⽴於其他球隊的排名之外, 也不是獨⽴於它所屬的分⽀之內。

我並不常將事情解釋得清楚完備, 不過我試著要解釋這裡的論點為何。我 相信有某種影響在最後的排名上、那是由於各⽀球隊是在稍微不平衡的賽 程當中進⾏⽐賽。每⽀球隊將要⽐賽16場、對抗它⾃⾝所屬的分⽀球隊 - 每⽀球隊⽐賽4場。不過每⽀球隊在它所屬聯盟只要⽐賽36場⽐賽對抗其 他球隊 - 4場對抗6⽀球隊與3場對抗4⽀球隊。這個影響讓球隊對抗⾃⼰所 屬分⽀球隊以獲得積分、更甚於與其他分⽀球隊⽐賽以爭取積分。結果就 是, 完成聯盟當中第⼀輪的球隊常常會從它所屬分⽀當中獲得更多的積 分、⽐起其他兩個分⽀的勝出者所獲得的積分還要更多。這表⽰聯盟當中 第⼆名的球隊更難累積到積分, 因此最後更可能在聯盟當中只有第⼆⾼的 積分。

我知道這個差異是微不⾜道的, ⽽且我不知道要如何將之量化, 不過我相信 可以寫出電腦的模擬(這遠超過我的能⼒)去找出其中可能的效應。

為了讓這個問題更加凸顯, NHL美式⾜球所使⽤的甚⾄是更加不平衡的賽 程。每⽀球隊參加82場⽐賽、就如同NBA美國職籃那般。不過每⽀球隊在 所屬的分⽀要⽐賽32場 - 每隊8場對抗其他4⽀球隊。接著他們⽐賽40場 以對抗跨聯盟的競爭者 - 每隊4場對抗聯盟當中的其他10⽀球隊。所以這 裡, 各個分⽀當中的頂級球隊可能⽐那個分⽀當中的第⼆名球隊累積更多 的積分, 因此對於分⽀當中的第⼆名球隊在整體聯盟當中要累積到第⼆⾼ 的積分則會愈加困難。

最後, 要舉例說明得更清楚些, 讓我們只考量⼀個聯盟只有4⽀球隊 - 2個分 ⽀、各有2⽀球隊。運⽤你在回答原來NBA美國職籃所想到的邏輯, 最佳兩 ⽀球隊來⾃相同分⽀的機率應該是3分之1。

如果我們運⽤⼀種平衡的賽程, 就說每⽀球隊與其他球隊只⽐賽⼀次。如 果你適度加權排名當中的ties和局狀況, 那麼電腦模擬顯⽰頂級兩⽀球隊來 ⾃相同分⽀的機率為33.33%, 就如同預期那般。

然⽽, 如果我們陷⼊在⼀種不平衡的賽程當中, 這樣將改變全局。讓我們假 設每⽀球隊在它⾃⾝所屬分⽀當中與其他的球隊各賽2次, 不過與其他分⽀ 的每⽀球隊只⽐賽1次。假設與你相同分⽀球隊的2場⽐賽先發⽣。所以在 每隊⽐賽2場之後, 那就很清楚、在各個分⽀當中第⼆名的球隊將會在其他 分⽀當中與第⼀名球隊平分或落後。所以對於第⼆名的球隊要想在總體聯 盟的賽程當中爬到第⼆名、那將會是⾮常困難的。使⽤這種賽程的快速電 腦模擬顯⽰出, 頂級兩⽀球隊來⾃相同分⽀的機率只有27.07%. 降低了⼤ 約6.26%.

現在, 這只是針對4⽀球隊的聯盟、4場⽐賽的賽程, 其中in-division分⽀內 相對於cross-division跨分⽀⽐賽的⽐率為2:1. 如果你將之拓展到15⽀球隊 的聯盟、82場⽐賽的賽程, 其中in-division分⽀內相對於cross-division跨分 ⽀⽐賽的⽐率更加接近於4:3.6, 就如同我之前所說的, 我會預期從你所說 的那個4/14數值稍有偏差。在⼤範圍時, 它可能會遠低於1%, 我猜。不過 它還是存在的, 所以答案不可以嚴格說成是4/14.

無論如何, 我只是想要指出這點, 也感謝你提供我這個饒富趣味的問題去思 考與擴展我的思維。

致上敬意,
Jonathan Bradford